具有无穷多个二次点的素幂级模曲线

我们完全确定了 $\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ 的 $1085$ 个满足 $-I \in H$ 且 $\operatorname{det}(H)=\widehat{\mathbb{Z}}^{\times}$ 的素幂级开子群 $H$，使得对应的模曲线 $X_H$ 具有无穷多个二次点。当 $g(X_H)\geq 2$ 时，这等价于确定所有具有素幂级且容许到正秩椭圆曲线的度 2 映射的超椭圆模曲线和双椭圆模曲线。从模空间的角度来看，这意味着恰好存在 $1085$ 个 $\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ 的素幂级子群 $H$，使得存在无穷多个定义在二次扩张上的椭圆曲线 $E/K$，其 $\rho_E(G_k)$ 与 $H$ 的子群共轭。