椭圆曲线上局部-全局整除性的反例

设 $p \geq 5$ 为素数。我们找出 ${\rm GL}_2 ( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} )$ 的所有可能子群 $G$，使得存在一个数域 $k$ 和定义于 $k$ 上的椭圆曲线 ${\mathcal{E}}$，满足 ${\rm Gal} ( k ( {\mathcal{E}}[p] ) / k )$-模 ${\mathcal{E}}[p]$ 同构于 $G$-模 $( \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} )^2$，并且存在 $n \in \mathbb{N}$ 使得关于 $p^n$ 的局部-全局整除性在 ${\mathcal{E}} ( k )$ 上不成立。