关于椭圆曲线中被 $p^n$ 整除性的局部-整体原理

设 $p$ 为一个素数，$k$ 为一个不包含域 $\mathbb{Q} (\zeta_p + \bar{\zeta_p})$ 的数域。令 $\mathcal{E}$ 为定义在 $k$ 上的一条椭圆曲线。我们证明，若 $\mathcal{E}$ 上没有精确阶为 $p$ 的 $k$-有理挠点，则对于被 $p^n$（$n$ 为自然数）整除性，局部-整体原理成立。作为 Merel 深刻定理的一个推论，对于大于仅依赖于 $k$ 的次数的某个常数的 $p$，不存在局部-整体整除性原理的反例。一些出色而深入的工作为定义在 $\mathbb{Q}$ 上次数至多为 5 的数域上的椭圆曲线给出了明确的小常数。