椭圆曲线上的哈塞原理问题研究

设 $p$ 为素数，$n$ 为正整数。设 $E$ 为定义在数域 $k$ 上的一条椭圆曲线。已知 $E/k$ 上关于 $p$ 的局部-全局可整除性成立，但对于 $p^n$ 的幂次，可能出现反例。哈塞原理的有效性或失败性取决于椭圆曲线 $E$ 和域 $k$，从而取决于群 $\mathrm{Gal}(k(E[p^n])/k)$。究竟是哪些类型的这些群会使原理成立？哪些类型可以找到反例？已知 $n=1,2$ 时的答案，但对于 $n\geq 3$ 仍是开放问题。我们给出关于 $\mathrm{Gal}(k(E[p^n])/k)$ 生成器的若干条件，表明在 $k$ 上对 $E$ 中 $p^n$ 的局部-全局可整除性在每个 $n\geq 2$ 时都成立。我们还证明这些条件是必要的，通过在其不成立时构造反例。这些结果推广了 Ranieri 对 $n=2$ 的结果至每个 $p^n$。