某些伽罗瓦表示图像的局部-全局原理

设 $K$ 为一个数域，$E/K$ 为一条椭圆曲线，其模 $\ell$ 伽罗瓦表示在局部上的图像（在共轭意义下）包含于群 $G$ 中。我们对全局伽罗瓦表示在 $G$ 为 Cartan 子群或 Cartan 子群的正规化子时可能的图像进行了分类。当 $K = \mathbf{Q}$ 时，我们推导出在 $G$ 为分裂 Cartan 的正规化子且 $\ell = 13$ 的情形下局部-全局原理的一个反例。特别地，在 $\mathbf{Q}$ 上至少存在三条椭圆曲线（相差扭曲）其模 $13$ 伽罗瓦表示在局部包含于分裂 Cartan 的正规化子中，但全局图像却不是。