椭圆曲线的显式 p-adic 赫道理论及非分割 Cartan 图像

设 $E/\mathbb{Q}_p$ 为一个模 $p$ Galois 像 contained in 法向范数中的一个非分割 Cartan 域的椭圆曲线。我们利用 $p$-adic 赫道理论的工具，通过对 $E$ 的 $p$ 次幂 torsion 的局部 Galois 结构进行细致分析，来分类 $E$ 的可能的 $p$-adic 像。我们特别关注 $E$ 具有潜在 supersingular 归约的情况，这时我们给出一个算法，从 Weierstrass 模型确定对应的滤波 $(\varphi,\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q}_p))$-模（这似乎是首次提出的），并引入另一种分母多项式，这可能是独有兴趣的。我们推导出关于椭圆曲线 $E/\mathbb{Q}$ 的全局结论：当 $E$ 的模 $p$ 表示具有非分割 Cartan 像且 $E$ 不具有 CM 时，$p$-adic 像必须是某个 $n \geq 1$ 的模 $p^n$ 非分割 Cartan 法向范数中的完整原像。作为应用，我们磨化了以 $j$-不变式的 Weil 高度为界的 adelic 像的现有界限。