椭圆曲线上阿贝尔 Galois 表示的有效界限

给定定义在 $\mathbb{Q}$ 上的一个无复乘模的椭圆曲线 $E$，我们给出其阿贝尔表示 $\rho_E$ 像索引的显式尖锐界限。特别地，若 $\operatorname{h}_{\mathcal{F}}(E)$ 为 $E$ 的稳定 Faltings 高度，则 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \operatorname{Im}\rho_E]$ 上界为 $10^{21} (\operatorname{h}_{\mathcal{F}}(E)+40)^{4.42}$，且当 $\operatorname{h}_{\mathcal{F}}(E) \to \infty$ 时，上界为 $\operatorname{h}_{\mathcal{F}}(E)^{3+o(1)}$。我们还分类讨论了当 $\operatorname{Im}\rho_{E,p}$ 包含在非分割 Cartan 范数内部时，表示 $\rho_{E,p^n}$ 的可能（ conjecturally 不存在的）像。这一结果改进了 Zywina 和 Lombardo 的先前工作。