计算附于椭圆曲线的伽罗瓦表示的像
数论
2022-05-23 v7
摘要
设 E 为定义在数域 K 上的无复乘法（CM）椭圆曲线，并令 G_E(ell) 为由 K 的绝对伽罗瓦群在 E 的 ell 阶扭转子群上的作用所诱导的伽罗瓦表示的像。我们提出两种概率算法，通过采样弗罗贝尼乌斯元素的像，同时确定对所有素数 ell 的 G_E(ell) 直至局部共轭；一种是拉斯维加斯型，另一种是蒙特卡洛算法。它们将 G_E(ell) 确定至 GL_2(Z/ell Z) 的子群中至多两个具有相同半简化的同构共轭类之一，每个类都出现于与 E 同源的椭圆曲线中。在 GRH 下，它们的运行时间关于 E 的整韦伊方程的比特大小 n 是多项式的，而对于我们的蒙特卡洛算法，则是 n 的拟线性。我们将算法应用于克雷莫纳（Cremona）表格和 Stein--Watkins 数据库中的非 CM 椭圆曲线，约 1.4 亿条导子至 10^10 的曲线，从而得到了对于 E/Q 无 CM 时出现的 63 个例外伽罗瓦像的一个推测完整的列表。在此猜想下，我们确定了定义在具有有理 j-不变量二次域上的非 CM 椭圆曲线出现的 160 个例外伽罗瓦像的完整列表。我们还给出了仅在 j-不变量为无理数时，定义在二次域上的非 CM 椭圆曲线出现的例外伽罗瓦像的例子。
引用
@article{arxiv.1504.07618,
title = {Computing images of Galois representations attached to elliptic curves},
author = {Andrew V. Sutherland},
journal= {arXiv preprint arXiv:1504.07618},
year = {2022}
}
备注
minor corrections, 47 pages