关于Serre满射伽罗瓦表示猜想的一个改进界

假设$E$是定义在$\mathbb{Q}$上、无复乘且导子为$N$的椭圆曲线。对于每个正整数$m$,绝对伽罗瓦群$G_{\mathbb{Q}}=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$在$\bar{\mathbb{Q}}$上挠点上的作用给出了$G_\mathbb{Q}$的一个表示。Serre的一篇著名论文表明，对于所有足够大的素数，该表示是满射的；其他素数被称为\textit{例外素数}。Serre猜想，对于$\mathbb{Q}$上任何非CM椭圆曲线，不存在大于37的例外素数$\ell$。这方面最好的结果归功于Cojocaru，他证明了最大例外素数$\ell_0\ll_{\epsilon} N^{1+\epsilon}$。在本文中，我们降低了该界的指数，得到\ell_0\ll_{\epsilon} N_0^{1/4}+\epsilon}，其中$N_0$是坏约化素数的乘积。如果$E$没有乘法约化点，则我们有\ell_0\ll_{\epsilon}N^{1/8}+\epsilon}。假设Frey-Szpiro猜想，我们一般有\ell_0\ll_{\epsilon}N^{1/8}+\epsilon}。我们的主要方法包括Rankin-Selberg方法和关于二次剩余分布的经典工作。