有理数域上椭圆曲线的 Serre 常数

设 $E$ 为定义在有理数域上无复乘法的椭圆曲线。本文旨在定义一个正整数 $A(E)$，我们称之为{\it $E$ 的 Serre 常数}，它给出了判定 $\rho_{E,m}$（与 $E$ 相关的模 $m$ Galois 表示）非满射的必要条件。特别地，若存在 $m$ 的素因子 $p$ 满足 ${\rm val}_p(m) > {\rm val}_p(A(E))>0$，则 $\rho_{E,m}$ 非满射。在 Serre 一致性猜想条件下，我们确定了有理数域上无复乘法且无穷频繁出现的椭圆曲线的所有 Serre 常数。此外，我们给出了在 $\mathbb{Q}$ 上无穷多非同构类的非 CM 椭圆曲线中出现的模 $p$ Galois 表示的所有可能组合，以及仅有限出现的已知情形。对 ${\rm GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ 中极大非满射子群的可能组合，我们得到了类似结果。最后，我们猜想了这些组合的所有可能性，特别是这些 Serre 常数的所有可能性。