Serre一致性问题与$C_{ns}^+(p)$的真子群

Serre一致性问题问是否存在一个界$N>0$，使得对于每条定义在$\mathbb{Q}$上的非CM椭圆曲线$E$和每个素数$p>N$，剩余Galois表示$\rho_{E,p}:\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \operatorname{Aut}(E[p])$是满射。许多作者的工作表明，对于$p>37$，该表示要么是满射，要么其像包含于非分裂Cartan子群$C_{ns}^+(p)$的正规化子中。Zywina进一步证明，每当$p>37$时$\rho_{E,p}$非满射，其像要么是$C_{ns}^+(p)$，要么是$C_{ns}^+(p)$中指数为$3$的某个子群$G(p)$。近来，Le Fourn与Lemos证明对于$p>1.4 \cdot 10^7$指数-$3$的情形不会出现。我们强化了该结果，证明对于任意大于$5$的素数，$\rho_{E, p}$的像不与$G(p)$共轭。