关于椭圆曲线关联的模 $\ell$ 表示的满射性

设 $E$ 为有理数上无复乘的椭圆曲线。对于每个素数 $\ell$，绝对 Galois 群在 $E$ 的 $\ell$-挠点上的作用可由 Galois 表示 $\rho_{E,\ell}\colon \operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to GL_2(\mathbb{F}_\ell)$ 给出。Serre 的一个重要定理指出，对于所有足够大的 $\ell$，$\rho_{E,\ell}$ 是满射的。在本文中，我们描述了一个基于 Serre 证明的简单算法，该算法能快速确定使 $\rho_{E,\ell}$ 非满射的有限素数 $\ell$ 集合。我们还将给出 Serre 定理的一些改进界。