关于 p-扩张类群的 p-秩

我们证明了具有限制分歧的全局域嵌入问题的局部-全局原理。借助该局部-全局原理，对于全局域 $k$，当某些伽罗瓦上同调条件满足时，我们仅利用局部信息给出 $k$ 的具有限制分歧的极大 pro-$p$ 伽罗瓦群的一个表示。对于伽罗瓦 $p$-扩张 $K/k$，我们利用关于 $k$ 的表示结果来研究 $K$ 的 pro-$p$ 伽罗瓦群的结构。进而对于 $k=\mathbb{Q}$ 与 $k=\mathbb{F}_q(t)$ 且 $p\nmid q$，我们给出了 $K$ 的类群的 $p$-挠群秩的上界与下界，这些界仅依赖于伽罗瓦群的结构以及 $K/k$ 的惯性子群。最后，我们针对固定的分歧类型，研究了 $\mathbb{Q}$ 的循环 $p$-扩张类群的 $p$-秩，以及 $\mathbb{Q}$ 的多二次扩张类群的 $2$-秩。