高维局部域的p-扩张的伽罗瓦群

设 $\mathcal K$ 为特征 $p$ 的 $N$ 维局部域，$\mathcal G =\mathop{Gal}(\mathcal K_{sep}/\mathcal K)$，$\mathcal G_{<p}$ 为 $\mathcal G$ 的周期 $p$ 且幂零类 $<p$ 的极大商群，$\mathcal K_{<p}\subset \mathcal K_{sep}$ 满足 $\mathop{Gal}(\mathcal K_{<p}/\mathcal K)=\mathcal G_{<p}$。我们利用幂零 Artin-Schreier 理论将 $\mathcal G_{<p}$ 等同于由 profinite Lie $\mathbb F_p$-代数 $\mathcal L$ 经 Campbell-Hausdorff 合成律得到的群 $G(\mathcal L)$。$\mathcal K$ 上的典范 $\mathcal P$-拓扑用于定义 $\mathcal L$ 中的稠密 Lie 子代数 $\mathcal L^{\mathcal P}$。该代数 $\mathcal L^{\mathcal P}$ 可赋予一组 $\mathcal P$-拓扑生成元，其 $\mathcal P$-开子代数对应于 $\mathcal K_{<p}$ 中 $\mathcal K$ 的所有 $N$ 维扩张。这些结果被应用于含本原 $p$ 次单位根、特征 0 的高维局部域 $K$。若 $\Gamma =\mathop{Gal}(K_{alg}/K)$，我们类似地引入商群 $\Gamma_{<p}=G(L)$、稠密 $\mathbb F_p$-Lie 代数 $L^{\mathcal P}\subset L$，并用生成元与关系描述 $L^{\mathcal P}$ 的结构。该一般结果通过 $\Gamma_{<p}$ 模三阶交换子的显式表示加以说明。