$p$-扩张的伽罗瓦理论中的组合技术

当前伽罗瓦理论中的一个主要开放问题是刻画那些作为不同域的绝对伽罗瓦群出现的 profinite 群。获取 $p$-扩张的伽罗瓦群的商群和子群滤系结构的详细知识是迈向解决该问题的重要一步。我们展示了计数不同域（包括 pythagorean 域和局部域）的伽罗瓦 $p$-扩张的若干技术。推导出了伽罗瓦群为 8 阶二面体群的形式实 pythagorean 域的扩张数的表达式。我们推导出了一个公式，用于计算各种有限生成 pro-$p$ 群（包括自由 pro-$p$ 群、Demushkin 群及其自由 pro-$p$ 积）的 Zassenhaus 滤系的第 $n$ 个分级片段的 $\mathbb{F}_p$-维数。提供了几个例子以说明这些维数在刻画 pro-$p$ 伽罗瓦群中的重要性。我们还表明，关于 pro-$p$ 伽罗瓦群的小商群的知识可以提供有关群生成元之间关系形式的信息。