p-进域的 p^l 次扩张

给定一个 $p$-进域 $K$ 和一个素数 $\ell$，我们计算了 $K$ 的无中间域 $p^\ell$-扩张的同构类总数。此外，对于每个可作为此类扩张正规闭包的 Galois 群的群，我们计算了包含正规闭包的 Galois 群同构于给定群的扩张的同构类数量。最后，我们确定了 $K$ 的所有无中间域 $p^\ell$-扩张的复合域的分歧群与判别式。主要工具是本文开头证明的一个结果，该结果指出：$K$ 的无中间扩张的 $p^\ell$ 次扩张的同构类与 $F^*/{F^*}^p$ 的 $\ell$ 维不可约 $H$-子模之间存在一一对应关系，其中 $F$ 是 $K$ 的某些固定正规扩张的复合域，$H$ 是 $F$ 在 $K$ 上的 Galois 群。