p-进域扩张的同构类计数

设 $\Omega$ 为 ${\mathbb Q}_p$ 的一个代数闭包，并设 $F$ 为包含在 $\Omega$ 中的 ${\mathbb Q}_p$ 的有限扩张。给定正整数 $f$ 和 $e$，Krasner 计算了包含在 $\Omega$ 中、具有剩余次数 $f$ 和分歧指数 $e$ 的扩张 $K/F$ 的个数。本文关注此类扩张的 $F$-同构类个数 ${\mathfrak I}(F,f,e)$。当 $p^2\nmid e$ 时我们完全确定了 ${\mathfrak I}(F,f,e)$，而当 $p^2\parallel e$ 时得到了部分结果。当 $s$ 较大时，${\mathfrak I}({\mathbb Q}_p,f,e)$ 等于具有剩余域 ${\mathbb F}_{p^f}$、分歧指数 $e$ 和长度 $s$ 的有限交换链环的同构类个数。