有限域扩展的自同构群与最小�策问题

Alexei Entin

有限域扩展的自同构群与最小�策问题

数论 2024-09-04 v2

作者: Alexei Entin

摘要

我们研究以下问题：给定全局域 $F$ 和有限群 $G$ ，是否存在有限扩展 $K/F$ 使得 $\mathrm{Aut}(K/F)\cong G$ ，且仅在 $F$ 的恰好 $r$ 个处所�策？我们 conjectured 答案对任意全局域 $F$ 和有限群 $G$ 都 $\le 1$ 。当 $F$ 为数域时，我们证明答案始终 $\le 4[F:\mathbb Q]$ 。我们证明在 Schinzel 假设 H 的条件下，若 $F$ 为数域则答案始终 $\le 1$ 。我们无条件地证明若 $F$ 为全局函数域则答案始终 $\le 1$ 。我们还证明对于比此前更广泛的域 $F$ ，每个有限群 $G$ 都可实现为有限扩展 $K/F$ 的自同构群（无�策限制）。本工作的重要新工具是作者与 C. Tsang 最近的证明：对任意有限群 $G$ ，存在自然数 $n$ 和子群 $H\leqslant S_n$ 使得 $N_{S_n}(H)/H\cong G$ 。

关键词

全局域有限扩展自同构群 �策 Schinzel 假设 H

引用

@article{arxiv.2408.12441,
  title  = {Automorphism Groups of Finite Extensions of Fields and the Minimal Ramification Problem},
  author = {Alexei Entin},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2408.12441},
  year   = {2024}
}

备注

v2: added conditional results proving Conj 1.1 and r_F(S_n)<=1 assuming Schinzel's Hypothesis H

有限域扩展的自同构群与最小�策问题

摘要

关键词

引用

备注

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