阿代尔环及其完备化的正向极限

整体域 $K$ 的阿代尔环 $\mathbb A_K$ 是一个局部紧、可度量的拓扑环，且关于 $\mathbb A_K$ 上任意不变度量都是完备的。对于固定的整体域 $F$ 以及可能的无限代数扩张 $E/F$，集合 $\{\mathbb A_K:F\subseteq K\subseteq E\}$ 上存在一个自然偏序。因此，我们可以构造正向极限 $$\mathbb A_E = \varinjlim \mathbb A_K$$ 这给出了阿代尔环到任意代数扩张 $E/F$ 的一种可能推广。在 $E/F$ 为伽罗瓦扩张的情形下，我们定义阿代尔的一种替代推广，记作 $\bar{\mathbb V}_E$，它是 $E$ 的位集上连续函数构成的一个特定可度量拓扑环。我们证明 $\bar{\mathbb V}_E$ 同构于 $\mathbb A_E$ 关于任意不变度量的完备化，并利用该同构建立了 $\mathbb A_E$ 的若干拓扑性质。