Drinfeld 模约化的自同态环

设 $A=\mathbb{F}_q[T]$ 为 $\mathbb{F}_q$ 上的多项式环,$F$ 为 $A$ 的分式域。设 $\phi$ 为 $F$ 上秩 $r\geq 2$ 的 Drinfeld $A$-模。对除有限个以外的所有素理想 $\mathfrak{p}\lhd A$,可将 $\phi$ 模 $\mathfrak{p}$ 约化,得到 $\mathbb{F}_\mathfrak{p}=A/\mathfrak{p}$ 上秩 $r$ 的 Drinfeld $A$-模 $\phi\otimes\mathbb{F}_\mathfrak{p}$。自同态环 $\mathcal{E}_\mathfrak{p}=\mathrm{End}_{\mathbb{F}_\mathfrak{p}}(\phi\otimes\mathbb{F}_\mathfrak{p})$ 是 $F$ 的 $r$ 次虚域扩张 $K$ 中的一个阶。设 $\mathcal{O}_\mathfrak{p}$ 为 $A$ 在 $K$ 中的整闭包,$\pi_\mathfrak{p}\in \mathcal{E}_\mathfrak{p}$ 为 $\phi\otimes\mathbb{F}_\mathfrak{p}$ 的 Frobenius 自同态。则在 $K$ 中有阶的包含关系 $A[\pi_\mathfrak{p}]\subset \mathcal{E}_\mathfrak{p}\subset \mathcal{O}_\mathfrak{p}$。我们证明:若 $\mathrm{End}_{F^\mathrm{alg}}(\phi)=A$,则对任意非零理想 $\mathfrak{n}, \mathfrak{m}$ of $A$,存在无穷多个 $\mathfrak{p}$ 使得 $\mathfrak{n}$ 整除指标 $\chi(\mathcal{E}_\mathfrak{p}/A[\pi_\mathfrak{p}])$ 且 $\mathfrak{m}$ 整除指标 $\chi(\mathcal{O}_\mathfrak{p}/\mathcal{E}_\mathfrak{p})$。我们指出指标 $\chi(\mathcal{E}_\mathfrak{p}/A[\pi_\mathfrak{p}])$ 与由 $\phi$ 的除点所产生的 $F$ 扩张的互反律相关。在秩 $r=2$ 的情形,我们描述了计算阶 $A[\pi_\mathfrak{p}]\subset \mathcal{E}_\mathfrak{p}\subset \mathcal{O}_\mathfrak{p}$ 的算法,并给出了一些计算数据。