超奇异椭圆曲线的自同态环与三元二次型

设 $c<3p/16$ 为素数或 $c=1$。设 $E$ 是定义在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的 $\mathbb{Z}[\sqrt{-cp}]$-定向超奇异椭圆曲线。存在从 $E$ 到 $E^p$ 的 $c$-同源，其核 $G \subset E[c]$。给定一个对应于自同态环 $\text{End}(E,G)=\{ \theta \in \text{End}(E): \theta(G) \subseteq G \}$ 的 Eichler 序，我们可以通过求解 $\mathbb{F}_c$ 中的两个平方根来计算一个判别式为 $p$ 的三元二次型，并且通过 Brandt--Sohn 对应，该三元二次型对应于 $B_{p,\infty}$ 中的一个极大序 $\mathcal{O} \cong \text{End}(E)$。设 $D$ 为满足 $D<p$（分别地，$4D<p$）的素数。如果一个判别式为 $-D$（分别地，$-4D$）的虚二次序可以嵌入到 $\text{End}(E)$ 中，那么我们可以通过求解 $\mathbb{F}_D$ 中的一个平方根和 $\mathbb{F}_c$ 中的两个平方根来计算 $B_{p,\infty}$ 中对应于 $\text{End}(E)$ 的一个极大序。据我们所知，超奇异椭圆曲线之间的任何同源都可以转化为自同态环的一个核理想。我们研究了核理想的作用，并给出了其右序的一组基。总的来说，我们提出了一种从 $B_{p,\infty}$ 中的 Eichler 序计算极大序的有效算法。