超奇异椭圆曲线与四元数序的定向寻找

超奇异椭圆曲线的定向编码了该曲线的一个自同态的信息。计算完整的自同态环是一个已知的困难问题，因此人们可能会考虑找到一个这样的定向有多困难。我们证明，对于一个固定的虚二次序 $\mathfrak{O}$，访问一个能判断椭圆曲线是否 $\mathfrak{O}$-可定向的预言机，能为计算对应于该 $\mathfrak{O}$-定向的自同态提供非平凡的信息。我们给出了显式算法并进行了深入复杂性分析。我们还从四元数代数的角度考虑该问题。我们提供了将固定虚二次序嵌入到在 $p$ 和 $\infty$ 处分歧的四元数代数的极大序中的算法。我们在 Sagemath 中提供了代码实现，对于寻找判别式达 $O(p)$ 的虚二次序的嵌入是高效的，即便对于密码学规模的 $p$ 也是如此。