椭圆曲线同态态构造中的新方法

给定域 $K$ 上的椭圆曲线 ${\mathcal E}$，求其端omorphism 环 ${\rm End}({\mathcal E})$ 中显式元素是一项具有挑战性的难题；该问题等价于在有理函数域 $K(X)$ 中求解所有可能的函数方程组的解。本文不尝试直接描述这些解，而是首先在更大的 Laurent 幂级数域 $K((X))$ 中寻找解，即我们称之为{\em 形式同态态}。我们证明，所有可分离形式同态态的集合自然地与定义在 $K((X))$ 上的平面三次曲线的 $\frac{1}{X}K[[X]]-$ 有理点子集相对应。作为副产品，我们给出一种在特征为 $3$ 时求所有形式可分离同态态的方法。