有限域的自同态映射：从同态环构建

我们发展了一种从同态环构建有限域自同态映射的显式几何方法。设 $k$ 为有限域，$E/k$ 为椭圆曲线，$\ell$ 为与 $\mathrm{char}(k)$ 互素的整数。设 $\mathfrak{h}$ 为 $\mathrm{End}(E)$ 的一个割尽 $\ell$ 的理想，考虑对应的切向子群 $E[\mathfrak{h}]\subseteq E[\ell]$。从 $\mathrm{End}(E)$ 对 $E[\mathfrak{h}]$ 的作用，我们构造 $x$ 坐标点在 $E[\mathfrak{h}]$ 的分割域 $K$ 以及关联的伽罗瓦群 $\mathrm{Gal}(K/k)$。这得到了 $(\mathrm{End}(E)/\mathfrak{h})^* \to \mathrm{Gal}(K/k)$ 一个群同态映射。