有理椭圆曲线同源图的显式分类

设 $n>1$ 为使得 $X_{0}\!\left( n\right)$ 亏格为 $0$ 的整数，并设 $K$ 为特征为 $0$ 或与 $6n$ 互素的域。在本文中，我们显式分类了所有在 $\mathbb{Q}$ 上容许非平凡同源的有理椭圆曲线的同源图。为此，我们引入了定义于 $K(t,d)$ 上的 $56$ 个参数化椭圆曲线族 $\mathcal{C}_{n,i}(t,d)$，它们对固定的 $n$ 具有以下两个性质：$\mathcal{C}_{n,i}(t,d)$ 在 $K(t,d)$ 上同源，且存在整数 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ 使得 $\mathcal{C}_{n,k_{1}}(t,d)$ 与 $\mathcal{C}_{n,k_{2}}(t,d)$ 的 $j$-不变量由 Fricke 参数化给出。作为推论，我们证明：若 $E$ 是数域 $K$ 上的椭圆曲线且其同源类次数被 $n\in\left\{4,6,9\right\}$ 整除，则存在一个 $E$ 的二次扭曲线，其在 $K$ 的所有满足 $\mathfrak{p}\nmid n$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 上半稳定。