非同源椭圆曲线与超椭圆 Jacobian II

设 $K$ 为异于 $2$ 的特征的域，$\bar{K}$ 为其代数闭包。设 $n \ge 3$ 为奇整数。设 $f(x)$ 与 $h(x)$ 为系数在 $K$ 中且无重根的次数 $n$ 多项式。考虑亏格 $(n-1)/2$ 的超椭圆曲线 $C_f: y^2=f(x)$ 与 $C_h: y^2=h(x)$，及其 Jacobian $J(C_f)$ 与 $J(C_h)$，它们是定义在 $K$ 上的 $(n-1)/2$ 维阿贝尔簇。假设其中一个多项式不可约而另一个在 $K$ 上完全分裂。我们证明：若 $J(C_f)$ 与 $J(C_h)$ 在 $\bar{K}$ 上同源，则存在整除 $n$ 的（奇）素数 $\ell$，使得 $J(C_f)$ 与 $J(C_h)$ 的自同态代数均包含一个同构于 $\ell$ 次单位根域的子域。