奇次超椭圆曲线及其雅可比上的除以 2 运算

设 $K$ 为特征不为 2 的代数闭域，$g$ 为正整数，$f(x)$ 为系数在 $K$ 中且无重根的 $(2g+1)$ 次多项式，$C:y^2=f(x)$ 为相应的 $K$ 上亏格 $g$ 超椭圆曲线，$J$ 为 $C$ 的雅可比。我们将 $C$ 与其到 $J$ 的典范嵌入的像等同（$C$ 的无穷远点对应于 $J$ 的单位元）。众所周知，对每个 $\mathfrak{b} \in J(K)$，恰有 $2^{2g}$ 个 $\mathfrak{a} \in J(K)$ 使得 $2\mathfrak{a}=\mathfrak{b}$。M. Stoll 构造了一种算法，依据 $\mathfrak{b}$ 的 Mumford 表示给出所有此类 $\mathfrak{a}$ 的 Mumford 表示。本文的目标是：当 $\mathfrak{b}\in J(K)$ 由 $P=(a,b) \in C(K)\subset J(K)$ 以坐标 $a,b$ 给出时，给出所有此类 $\mathfrak{a}$ 的 Mumford 表示的显式公式。我们还证明若 $g>1$ 则 $C(K)$ 不包含阶在 $3$ 与 $2g$ 之间的扭点。