$\mathbb P^1$的循环覆盖上的小阶挠点

设 $d\geq 2$ 为正整数，$K$ 为特征不整除 $d$ 的代数闭域，$n\geq d+1$ 为与 $d$ 互素的正整数，$f(x)\in K[x]$ 为一个无重根的 $n$ 次首一多项式，$C_{f,d}: y^d=f(x)$ 为对应的 $K$ 上的光滑平面仿射曲线，$\mathcal{C}_{f,d}$ 为 $C_{f,d}$ 的光滑射影模型，$J(\mathcal{C}_{f,d})$ 为 $\mathcal{C}_{f,d}$ 的雅可比簇。我们将 $\mathcal{C}_{f,d}$ 与其在 $J(\mathcal{C}_{f,d})$ 中的典范嵌入像等同起来（使得 $\mathcal{C}_{f,d}$ 的无穷远点映射到 $J(\mathcal{C}_{f,d})$ 上群法则的零元）。此前第二位作者证明了当 $d=2$ 且 $n=2g+1\geq 5$ 时，亏格为 $g$ 的超椭圆曲线 $\mathcal{C}_{f,2}$ 不含阶数在 $3$ 与 $n-1=2g$ 之间的点。在本文中，我们将此结果推广到任意 $d$ 的情形。即，我们证明若 $P$ 是 $\mathcal{C}_{f,d}$ 上阶数 $m>1$ 的点，则要么 $m=d$，要么 $m\geq n$。我们还描述了所有具有 $n$ 阶点的曲线 $\mathcal{C}_{f,d}$。