$\mathbb{P}^1$循环覆盖上的小阶挠点. III

设$d>1$为整数，$K_0$为特征不整除$d$的完美域。设$n>d$为与$d$互素的整数。设$f(x)\in K_0[x]$为无重根的$n$次首一多项式，$\mathcal{C}_{f,d}$为仿射曲线$y^d=f(x)$的光滑射影模型。设$J(\mathcal{C}_{f,d})$为$K_0$-曲线$\mathcal{C}_{f,d}$的雅可比簇。如常，我们将$\mathcal{C}_{f,d}$等同于其在$J(\mathcal{C}_{f,d})$中的典范像（使得$\mathcal{C}_{f,d}$的唯一“无穷远点”对应于$J(\mathcal{C}_{f,d})$上群律的零元）。若存在如上多项式$f(x)$使得$\mathcal{C}_{f,d}(K_0)$包含一个$m$阶挠点，则称整数$m>1$在$K_0$上是$(n,d)$-可达的。令$\ell_0:=[(n+d)/d], \ m_0:=\ell_0 d$。此前我们证明了若$m$是$(n,d)$-可达的，则要么$m=d$，要么$m=n$，要么$m \ge m_0$（此外，$d$和$n$在每个$K_0$上都是$(n,d)$-可达的）。我们还证明了若$m_0$在某个$K_0$上是$(n,d)$-可达的，则$n-m_0+\ell_0\ge 0$。在本文中，我们讨论当$n-m_0+\ell_0=0$或$1$时$m_0$的$(n,d)$-可达性。