超椭圆曲线上小阶扭点

设 $C$ 为特征零的代数闭域 $K$ 上亏格 $g>1$ 的超椭圆曲线，$O$ 为 $C(K)$ 中 $(2g+2)$ 个 Weierstrass 点之一。令 $J$ 为 $C$ 的 Jacobian，它是 $K$ 上的 $g$ 维阿贝尔簇。我们考虑将 $O$ 映到 $J$ 上群律零元的 $C$ 到 $J$ 的典范嵌入。该嵌入允许我们将 $C(K)$ 与交换群 $J(K)$ 的某个子集等同。Raynaud 著名定理（Manin--Mumford 猜想）的一个特例断言 $C(K)$ 中的扭点集合是有限的。众所周知，$C(K)$ 中 2 阶点恰好是“剩余的” $(2g+1)$ 个 Weierstrass 点。其中一位作者证明了若 $3\le n\le 2g$，则 $C(K)$ 中不存在 $n$ 阶扭点。因此，研究 $2g+1$ 阶扭点是自然的（注意 $C(K)$ 中此类点的个数总是偶数）。最近，作者证明了（对给定的 $g$）存在无穷多互不同构的偶对 $(C,O)$，使得 $C(K)$ 包含至少四个 $2g+1$ 阶点。在本文中，我们证明（对给定的 $g$）至多有有限多（在同构意义下）偶对 $(C,O)$，使得 $C(K)$ 包含至少六个 $2g+1$ 阶点。