极简单的 2-adic 表示与超椭圆 Jacobian

设 $K$ 为一个数域，$n>4$ 为一整数，$f(x)$ 为 $K$ 上次数 $n$ 的不可约多项式，其 Galois 群为全对称群 $S_n$ 或交错群 $A_n$。设 $C:y^2=f(x)$ 为相应的超椭圆曲线，$J$ 为其在 $K$ 上定义的 Jacobian。对每个素数 $\ell$，记 $V_{\ell}(J)$ 为 $J$ 的 $Q_{\ell}$-Tate 模，$e_{\ell}$ 为依附于 theta 除子的 $V_{\ell}(J)$ 上的 Riemann 形式。（这里 $Q_{\ell}$ 是 $\ell$-进数域。）记 $sp(V_{\ell}(J))$ 为 $e_{\ell}$ 的辛群的 $Q_{\ell}$-Lie 代数。记 $g_{\ell}$ 为 $K$ 的 Galois 群 $Gal(K)$ 在 $Aut(V_{\ell}(J))$ 中像的 Lie 代数。我们证明 $g_{\ell}$ 与直和 $Q_{\ell}I \oplus sp(V_{\ell}(J))$ 重合，其中 $I$ 为恒等算子。