与超椭圆 Jacobi 簇相关的 2-adic 表示的像

设 $k$ 是 $\mathbb{C}$ 的一个子域，包含所有 $2$-幂次单位根，并设 $K = k(\alpha_{1}, \alpha_{2}, ... , \alpha_{2g + 1})$，其中 $\alpha_{i}$ 在 $k$ 上代数无关且超越，$g$ 是一个正整数。我们研究了与超椭圆曲线 $y^{2} = \prod_{i = 1}^{2g + 1} (x - \alpha_{i})$ 在 $K$ 上的 Jacobi 簇 $J$ 相关联的 $2$-adic Galois 作用的像。我们的主要结果表明，Galois 群在 $\mathrm{Sp}(T_{2}(J))$ 中的像与主同余子群 $\Gamma(2) \lhd \mathrm{Sp}(T_{2}(J))$ 重合。作为一个应用，我们找到了由 $J$ 的 $4$-挠点坐标生成的代数扩张 $K(J[4]) / K$ 的生成元。