二维超椭圆 Jacobian 的二进挠点

设 $k$ 为特征 $0$ 的域，$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$, ..., $\alpha_{5}$ 在 $k$ 上代数独立且超越。设 $K$ 为通过添加 $\alpha_{i}$ 的初等对称函数而得到的 $k$ 的超越扩张。设 $J$ 为定义在 $K$ 上由方程 $y^{2} = \prod_{i = 1}^{5} (x - \alpha_{i})$ 给出的超椭圆曲线的 Jacobian。我们通过给出每个 $K_{n}'$ 在 $K_{n - 1}'$ 上生成元的递归公式，定义域扩张塔 $K = K_{0}' \subset K_{1}' \subset K_{2}' \subset ...$，并令 $K_{\infty}' = \bigcup_{n = 0}^{\infty} K_{n}'$。我们证明 $K_{\infty}'(\mu_{2})$ 是域 $K(J[2^{\infty}]) := \bigcup_{n = 0}^{\infty} K(E[2^{n}])$ 的一个子扩张，对应于 $\mathrm{Gal}(K(J[2^{\infty}]) / K(\mu_{2}))$ 的一个中心 $2$ 阶 Galois 子群，并给出了 $K(J[2^{\infty}])$ 在 $K_{\infty}'(\mu_{2})$ 上的一个生成元。