关于特征域 $p \neq \ell$ 下超椭椭曲线雅可比群的 $\ell$- torsion

我们研究特征域 $p \neq \ell$ 下形如 $y^{\ell} = f(x)$ 的曲线雅可比群的 $\ell$-torsion 子群。这类函数域雅可比群的 $\ell$-torsion 子群研究是数域 $\mathbf{Q}(\sqrt[\ell]{N})$ 理想类群 $\ell$-torsion 子群研究的函数域类比。我们给出该 $\ell$-torsion 子群秩的上界、下界及奇偶性约束，这些界限仅依赖于参数 $\ell$, $q$ 以及 $\text{deg}\, f$。借助类域论工具，我们展示可通过依赖于多项式 $f(x)$ 某些同余条件的额外标准来细化上界和下界。对于特定参数 $\ell, q, \text{deg}\, f$，我们可确定所有具有给定参数的曲线的 $\ell$-torsion。