椭圆曲线的二进挠点

设 $k$ 为特征 $0$ 的域，$\alpha_{1}$、$\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 在 $k$ 上代数独立且超越。令 $K$ 为通过添加 $\alpha_{i}$ 的初等对称函数而得到的 $k$ 的超越扩张。设 $E$ 为定义在 $K$ 上并由方程 $y^{2} = (x - \alpha_{1})(x - \alpha_{2})(x - \alpha_{3})$ 给出的椭圆曲线。我们通过给出每个 $K_{n}'$ 在 $K_{n - 1}'$ 上生成元的递归公式，定义域扩张塔 $K = K_{0}' \subset K_{1}' \subset K_{2}' \subset ...$。我们证明 $K_{\infty}'$ 是域 $K(E[2^{\infty}]) := \bigcup_{n = 0}^{\infty} K(E[2^{n}])$ 的某个中心子扩张，并给出了 $K(E[2^{\infty}])$ 在 $K_{\infty}'(\mu_{2})$ 上的一个生成元。此外，若假设 $k$ 包含所有 $2$ 幂次单位根，则对每个 $n$，我们证明 $K(E[2^{n}])$ 包含 $K_{n}'$ 且包含于 $K_{n + 1}'$ 的某个二次扩张中。