数域上具有指定挠子群的椭圆曲线的密度

设 $K$ 为一个数域。对于满足 $m\mid n$ 的正整数 $m$ 和 $n$，令 $\mathscr{S}_{m,n}$ 为定义在 $K$ 上的椭圆曲线 $E/K$ 的集合，使得 $E(K)_{\operatorname{tors}}\supseteq \mathscr{T}\cong \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。我们证明，若模曲线 $X_{1}(m,n)$ 的亏格为 $0$，则 $\mathscr{S}_{m,n}$ 中“几乎所有”的 $E$ 满足 $E(K)_{\operatorname{tors}}= \mathscr{T}$，即不大于 $\mathscr{T}$。特别地，若 $m=n=1$，该结果将 Duke 关于 $\mathbb{Q}$ 上的定理推广到任意数域 $K$ 上的平凡挠子群情形。