计算超奇异椭圆曲线的自同态环及其与同源图中的路径寻找的联系

计算超奇异椭圆曲线的自同态环是计算数论中的一个重要问题，并且它与一些最近提出的基于同源的密码系统的安全性密切相关。本文给出一种计算超奇异椭圆曲线 $E$ 的自同态环的新算法，该算法在某些启发式假设下运行时间为 $O((\log p)^2p^{1/2})$。该算法首先在同余 $\ell$-同源图 $G(p,\ell)$ 中寻找两个特定形式的圈，生成一个阶 $\Lambda \subseteq \operatorname{End}(E)$。然后计算所有包含 $\Lambda$ 的极大阶，扩展了 Voight 的工作。最后一步是确定这些极大阶中哪一个是自同态环。作为圈寻找算法的一部分，我们给出了在 $G(p,\ell)$ 中与 $j^p$ 相邻的所有 $j$-不变量 $j$ 的集合的下界，回答了 arXiv:1909.07779 中的一个问题。