超奇异椭圆曲线同源图中圈的构造

圈和循环在计算超奇异椭圆曲线的自同态环及相关密码系统中起着重要作用。对于定义在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的超奇异椭圆曲线 $E$,若虚二次序 $O$ 可嵌入 $\text{End}(E)$ 且素数 $L$ 在 $O$ 中分裂为两个主理想,我们在超奇异 $L$-同源图中、与 $j(E)$ 在超奇异 $\ell$-同源图中相邻的顶点处构造圈或循环,其中 $\ell$ 为异于 $L$ 的素数。接着,我们讨论这些循环的长度,尤其针对 $j(E)=1728$ 和 $0$ 的情形。最后,我们还确定了当 $\ell$ 在 $O$ 中不分裂时,存在意外 $2$-循环的素数 $p$ 的上界。