超奇异地之旅

本文研究超奇异椭圆曲线的同源图。Charles、Goren 和 Lauter 为构造密码学哈希函数 [CGL06] 将超奇异同源图作为困难问题引入密码学。这些是大型扩张图，其困难问题是寻找在图的两个顶点间进行路由或寻路的高效算法。我们考虑超奇异同源图的四个方面，逐一深入研究，并在适当处讨论它们之间的联系。首先，我们考虑两个有助于理解其结构的相关图：由 $\mathbb{F}_p$ 中的 $j$-不变量给出的 $\mathcal{G}_\ell(\overline{\mathbb{F}_p})$ 子图“脊柱” $\mathcal{S}$，以及曲线与同源均须定义在 $\mathbb{F}_p$ 上的图 $\mathcal{G}_\ell(\mathbb{F}_p)$。我们展示了如何从后者过渡到前者。图 $\mathcal{S}$ 与密码分析相关，因为在 $\mathbb{F}_p$ 中顶点间的路由比在完整同源图中更容易。$\mathbb{F}_p$-顶点通常被假定为在图中随机分布，但这远非事实。我们给出了对 $\mathcal{S}$ 连通分量间距离的分析。接着，我们研究 $\mathcal{G}_\ell(\overline{\mathbb{F}_p})$ 上由 $\mathbb{F}_p$ 的 Frobenius 给出的对合，并就两个共轭 $j$-不变量间的最短路径被该对合保持（镜像路径）的频率给出启发式分析。我们还研究了共轭 $j$-不变量对 $\ell = 2,3$ 为 $\ell$-同源的比例这一相关问题。最后给出 $\ell = 2$ 时超奇异同源图直径的实验数据，并与先前关于 LPS 图与随机 Ramanujan 图直径的结果进行比较。