$\mathbb{F}_p$ 上超奇异椭圆曲线的自同态环

设 $p>3$ 为一固定素数。对于 $\mathbb{F}_p$ 上 $j$-不变量 $j(E)\in \mathbb{F}_p\backslash\{0, 1728\}$ 的超奇异椭圆曲线 $E$，众所周知 Frobenius 映射 $\pi=((x,y)\mapsto (x^p, y^p))\in \mathrm{End}(E)$ 满足 ${\pi}^2=-p$。Ibukiyama 的一个结果告诉我们，根据 $\frac{1+\pi}{2}\notin \mathrm{End}(E)$ 或 $\frac{1+\pi}{2}\in \mathrm{End}(E)$，$\mathrm{End}(E)$ 是 $\mathrm{End}(E)\otimes \mathbb{Q}$ 中一个与满足 $q\equiv 3 \bmod 8$ 且二次剩余 $\bigl(\frac{p}{q}\bigr)=-1$ 的（极小）素数 $q$ 相关联的极大阶。令 $q_j$ 表示 $j=j(E)$ 的 $E$ 的极小 $q$。首先，若 $\frac{1+\pi}{2}\notin \mathrm{End}(E)$ 且 $p>q\ell^2$，或 $\frac{1+\pi}{2}\in \mathrm{End}(E)$ 且 $p>4q\ell^2$，我们确定了超奇异 $\ell$-同源图中顶点 $[E]$ 的邻域。特别地，在我们的假设下，我们证明至多有两个定义在 $\mathbb{F}_p$ 上且与 $[E]$ 相邻的顶点。接下来，在 GRH 下，我们得到所有 $j$ 的 $q_j$ 的界 $M(p)$，并估计了满足 $q_j<c\sqrt{p}$ 的超奇异椭圆曲线数量。我们还对所有 $p<2000$ 数值计算了上界 $M(p)$，并表明除 $p=11,23$ 外有 $M(p)>\sqrt{p}$，且对所有 $p$ 有 $M(p)<p\log^2 p$。