超奇异椭圆曲线的格子

设 $p$ 为素数，$E$ 为定义在 $\bar{\mathbb{F}}_p$ 上的一个超奇异椭圆曲线，$\mathscr{O}$ 为其（几何）内嵌环。Chevyrev-Galbraith 和 Goren-Love 之前的工作表明，Gross 格子 $\mathscr{O}$ 的 successive minima 刻画了 $\mathscr{O}$ 的同构类型。在本文中，我们扩展了该工作，证明了第三个 successive 最小值 $D_3$ 对曲线其 $j$-invariant 是否位于域 $\mathbb{F}_p$ 或集合 $\mathbb{F}_{p^2} \setminus \mathbb{F}_p$ 提供了必要且充分的条件，同时在 $j$-invariant 属于 $\mathbb{F}_p$ 且 $p \equiv 3 \pmod{4}$ 时，进一步提供了关于 $E$ 内嵌环的细致信息。我们在文章结尾部分研究了超奇异椭圆曲线 Gross 格子的几何结构。