椭圆曲线在 Z/NZ 上的群结构

我们根据椭圆曲线在 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上随 $N$ 的素因子 $p$ 变化的群 $E(\mathbb{F}_p)$，刻画了由 $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上的椭圆曲线所产生的可能群 $E(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$。这一分类通过证明 $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$ 上任意椭圆曲线的无穷远部分是一个 $\mathbb{Z}/p^e\mathbb{Z}$-torsor 并给出其生成元而得到。第一个推论是，当 $E(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ 是一个 $p$-群时，我们给出了其秩的显式且紧的界。第二个推论是，当 $N = p^e$ 为素数幂且投影曲线 $E(\mathbb{F}_p)$ 的迹为一时，我们给出了针对 ECDLP 的一种同构攻击，该攻击仅借助有限环算术实现。