椭圆曲线的雅可比标准：重新审视

设 $\ell$ 和 $p \geq 3$ 为两个不同的素数。设 $E/\mathbb{Q}_\ell$ 和 $E'/\mathbb{Q}_\ell$ 为两个椭圆曲线，其 $p$- torsion 同构。假设 $E$ 具有潜在乘性约化。我们分类讨论当所有 $G_{\mathbb{Q}_\ell}$-同构 $\phi : E[p] \to E'[p]$ 具有相同雅可比类型时的情形，并证明两个新的判据用于确定该类型。在 particular，当两个曲线都具有乘性约化时，本文的结果涵盖了原始 Kraus 和 Oesterl\'e 标准未覆盖的无放大的 $p$-torsion 情形。我们还给出当 $E$ 和 $E'$ 都具有良好约化时的雅可比标准的一个变体，并提供一个可应用的算法。作为应用，我们确定了所有满足本文任一判据条件的、导数 $\leq 500 000$ 的有理椭圆曲线在某个素数~$\ell$ 上的模 $p \geq 5$ 同构的雅可比类型。