有理函数域 $\mathbb{F}_q(t)$ 上具有大 Tate-Shafarevich 群的椭圆曲线

设 $\mathbb{F}_q$ 为特征为奇素数 $p$ 的有限域。我们给出有理函数域 $K = \mathbb{F}_q(t)$ 上 Tate-Shafarevich 群很大的椭圆曲线。更确切地说，我们考虑某些显式椭圆曲线 $E$ 的无穷序列，并证明它们的 Tate-Shafarevich 群 $\mathrm{III}(E)$ 有限，且满足当 $H(E)\to\infty$ 时 $|\mathrm{III}(E)| = H(E)^{1+o(1)}$，其中 $H(E)$ 表示 $E$ 的指数微分高度。这些序列中的椭圆曲线两两既不同源也非几何同构。我们进一步证明它们 Tate-Shafarevich 群的 $p$-primary 部分平凡。证明涉及显式计算这些椭圆曲线的 $L$-函数、证明它们的 BSD 猜想，并给出其中心值大小的估计。