具有正秩且无整数点的椭圆曲线

我们考虑所有满足 $D \equiv 2 \bmod 3$ 的\emph{奇}基本判别式 $D$ 及其镜像判别式 $D' = -3D$，并研究椭圆曲线族 $E_{D'}: y^{2} = x^{3} + 16D'$。我们分别以 $r_{3}(D)$ 和 $r_{3}(D')$ 记 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt{D'})$ 的理想类群之 3-部分的秩。我们证明，对于 $D < 0$（相应地，对于 $D > 0$ 时 $r_{3}(D) = r_{3}(D')$）满足 $r_{3}(D) = r_{3}(D') + 1$ 的椭圆曲线子族 $E_{D'}$ 中的每条曲线都不可能有任何整数点，且这是无条件证明的。利用 Satg\'e 的结果并假设其 Tate-Shafarevich 群的 3-主部分有限，我们证明当 $D < 0$ 时曲线 $E_{D'}$ 必有奇秩，当 $D > 0$ 时必有偶秩。该结果对 $D < 0$ 的情形尤为有趣：因为每条满足 $r_{3}(D) = r_{3}(D') + 1$ 的曲线 $E_{D'}$ 在假设其 Tate-Shafarevich 群 3-主部分有限时具有无穷多个有理点——却无整数点。我们通过定义一个参数化曲线族给出了具有非平凡秩且无整数点的椭圆曲线存在性的无条件结果，该族无整数点但有一个参数化有理点，我们证明该点为无限阶。