关于自同态环 End($\mathbb{Z}_{p}\times\mathbb{Z}_{p^{m}}$) 的算术

对于素数 $p$，令 $E_{p,p^m}=\{\begin{pmatrix}a&b\\p^{m-1}c&d\end{pmatrix}|a,b,c\in\mathbb{Z}_{p},~\mathrm{and}~d\in \mathbb{Z}_{p^{m}}\}$。我们首先建立从 $\mathrm{End}(\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p^m)$ 到 $E_{p,p^m}$ 的环同构。然后给出利用 $\mathbb{Z}_{p}$ 和 $\mathbb{Z}_{p^{m}}$ 中的算术计算 $-d$ 和 $d^{-1}$ 的方法，并刻画 $E_{p,p^m}$ 中的可逆元。此外，我们引入 $E_{p,p^m}$ 中每个元素的最小多项式并给出其应用。