有限域中 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的划分：树与循环的代数与图结构

本文研究了环 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的代数与图结构，特别关注其分解为有限域、内核和特殊子集的方式。我们建立了 $\mathbb{F}_s$ 与 $p\mathbb{F}_s$ 之间的经典同构，以及 $p\mathbb{F}_s^{\star}$ 与 $p\mathbb{F}_s^{+1,\star}$ 之间的同构。我们引入“弧”和“根树”的概念，以描述 $\mathbb{Z}_{sp}$ 的前周期结构，并证明以 $s$ 或 $p$ 的倍数或 $p$ 的倍数之外的元素为根的树可通过乘以循环弧从单位树生成。进一步地，我们定义并分析了集合 $\mathbb{D}_{sp}$，其中包含既不是 $s$ 或 $p$ 的倍数，也不是“差一”元素的元素，证明其图分解为循环和前周期树。最后，我们展示了 $\mathbb{Z}_{sp}$ 中的每个循环都包含内循环，这些循环可从有限域 $p\mathbb{F}_s$ 和 $s\mathbb{F}_p$ 的循环中可预测地派生，同时讨论了 $\mathbb{D}_{sp}$ 在密码学中的相关性，突出其分析循环攻击和因式分解方法的潜在价值。