环 $\mathbb{Z}_{p^k}$ 上置换映射类的图结构

理解置换映射在剩余环如 $\mathbb{Z}_{p^k}$ 上的周期性和结构属性，是代数动力学和伪随机序列分析中的一个基础性挑战。尽管在描述全局周期方面取得了显著进展，但仍存在一个关键瓶颈：缺乏分析局部循环结构及其随算术精度递增演化的明确工具。本文提出了一种统一的分析框架，系统推导 $\mathbb{Z}_{p^k}$ 上某类置换映射循环长度分布。该方法结合生成函数、最小多项式和提升理论等技术，跟踪当模数 $p^k$ 变化时循环结构如何适应。为验证方法的普适性和有效性，我们以著名的 Cat 图作为典型例子进行应用，揭示其循环形成与转变的确切模式。该分析不仅为在固定点实现中观察到的实验规律提供了严格解释，还为评估由其他非线性映射生成的伪随机数序列的随机性和动力学行为奠定了理论基础。结果在安全系统设计、计算数论和符号动力学方面具有广泛影响。