局部化范畴中平凡模的自同态环

设 $G$ 为有限群，$k$ 为特征 $p>0$ 的域。令 $\mathcal{M}$ 为支撑簇位于投射素理想谱 $\operatorname{Proj} \operatorname{H}^*(G,k)$ 的某一固定子簇 $V$ 中的有限生成模的厚张量理想。令 $\mathcal{C}$ 表示稳定模范畴 $\operatorname{stmod}(kG)$ 在 $\mathcal{M}$ 处的 Verdier 局部化。我们证明：若 $V$ 为有限个闭点的集合，且 $G$ 的每个极大初等 Abel $p$-子群的 $p$-秩至少为 3，则 $\mathcal{C}$ 中平凡模的自同态环是一个局部环，其唯一极大理想是无限生成且幂零的。此外，我们给出一个例子，其中紧对象在 $\mathcal{C}$ 中的自同态环作为平凡模自同态环上的模不是有限表示的。