类数沿pro-$p$-扩张的$p$-进极限

设$K/k$为一个数域$k$上的pro-$p$-扩张，其伽罗瓦群有限生成，且$k_0\subseteq k_1\subseteq\cdots\subseteq k_n\subseteq\cdots$为$K/k$的中间域的升序列，使得$k_n/k$为正规扩张、$[k_n:k]<\infty$且$\bigcup_{n\ge 0} k_n=K$。我们将利用有限群的表示论证明：$k_n$类数的非$p$-部分$h_n(p')$当$n\rightarrow\infty$时$p$-进收敛，且该极限与$k_n$的选取无关。此外，在$K/k$为阿贝尔数域$k$上的分圆$\mathbb{Z}_p$-扩张的情形下，我们将采用解析方法，并获得沿$K/k$的各类算术不变量（即类数、$p$-进调节器与判别式平方根之比、以及整数环的代数$K_2$-群阶数）的$p$-进极限之间某些神秘的关联。